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Der Buchstabe Z mit Doppelstrich
steht für die Menge der ganzen Zahlen

Die ganzen Zahlen (?) sind Teil der rationalen Zahlen (?), die wiederum Teil der reellen Zahlen (?) sind. Sie selber beinhalten die natürlichen Zahlen (?).

百度 ——陈美儒（台湾著名教育家）主编推荐★一个朝代从兴盛到衰亡，历史大多只记载帝王将相，几乎不记载庶民。

Die ganzen Zahlen (auch Ganzzahlen, lateinisch numeri integri) sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen.

Die ganzen Zahlen umfassen alle Zahlen

…, ?3, ?2, ?1, 0, 1, 2, 3, …

und enthalten damit alle natürlichen Zahlen $\mathbb {N} _{0}$ sowie deren additive Inverse. Die Menge der ganzen Zahlen wird meist mit dem Buchstaben mit Doppelstrich $\mathbb {Z}$ bezeichnet (das ?Z“ steht für das deutsche Wort ?Zahlen“). Das alternative Symbol $\mathbf {Z}$ ist mittlerweile weniger verbreitet; ein Nachteil dieses Fettdruck-Symbols ist die schwierige handschriftliche Darstellbarkeit. Der Unicode des Zeichens lautet U+2124 und hat die Gestalt ?.

Die obige Aufz?hlung der ganzen Zahlen gibt auch gleichzeitig in aufsteigender Folge deren natürliche Anordnung wieder. Die Zahlentheorie ist der Zweig der Mathematik, der sich mit Eigenschaften der ganzen Zahlen besch?ftigt.

Die Repr?sentation ganzer Zahlen im Computer erfolgt üblicherweise durch den Datentyp Integer.

Die ganzen Zahlen werden im Mathematikunterricht üblicherweise in der fünften bis siebten Klasse eingeführt.

Eigenschaften

Ring

Die ganzen Zahlen bilden einen Ring bezüglich der Addition und der Multiplikation, d. h., sie k?nnen ohne Einschr?nkung addiert, subtrahiert und multipliziert werden. Dabei gelten Rechenregeln wie das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz für Addition und Multiplikation, au?erdem gelten die Distributivgesetze.

Durch die Existenz der Subtraktion k?nnen lineare Gleichungen der Form

$a+x=b$

mit natürlichen Zahlen $a$ und $b$ stets gel?st werden: $x=b-a$. Beschr?nkt man $x$ auf die Menge der natürlichen Zahlen, dann ist nicht jede solche Gleichung l?sbar.

Abstrakt ausgedrückt hei?t das, die ganzen Zahlen bilden einen kommutativen unit?ren Ring. Das neutrale Element der Addition ist 0, das additiv inverse Element von $n$ ist $-n$, das neutrale Element der Multiplikation ist 1.

Anordnung

Die Menge der ganzen Zahlen ist total geordnet, in der Reihenfolge

$\cdots <-2<-1<0<1<2<\cdots$ .

D. h., man kann je zwei ganze Zahlen vergleichen. Man spricht von

positiven $\{1,2,3,\ldots \}$	$[=\mathbb {N} ]$,		nichtnegativen $\{0,1,2,3,\ldots \}$	$[=\mathbb {N} _{0}]$,
negativen $\{\ldots ,-2,-1\}$	$[=-\mathbb {N} ]$ und		nichtpositiven $\{\ldots ,-2,-1,0\}$	$[=-\mathbb {N} _{0}]$

ganzen Zahlen. Die Zahl 0 selbst ist weder positiv noch negativ. Diese Ordnung ist vertr?glich mit den Rechenoperationen, d. h.:

Ist $a<b$ und $c\leq d$, dann ist $a+c<b+d$.

Ist $a<b$ und $0<c$, dann ist $ac<bc$.

Mithilfe der Anordnung lassen sich die Vorzeichenfunktion

$\operatorname {sgn}(x):={\begin{cases}-1&{\text{falls }}\quad x<0\\~~\,0&{\text{falls }}\quad x=0\\~~\,1&{\text{falls }}\quad x>0\end{cases}}$

und die Betragsfunktion

$|x|=\operatorname {abs} (x):={\begin{cases}~~\,x&{\text{falls }}\quad x\geq 0\\-x&{\text{falls }}\quad x<0\end{cases}}$

definieren. Sie h?ngen wie folgt

$x=\operatorname {sgn}(x)\,|x|$

zusammen.

M?chtigkeit

Wie die Menge der natürlichen Zahlen ist auch die Menge der ganzen Zahlen abz?hlbar.

Die ganzen Zahlen bilden keinen K?rper, denn z. B. ist die Gleichung $2x=1$ nicht in $\mathbb {Z}$ l?sbar. Der kleinste K?rper, der $\mathbb {Z}$ enth?lt, sind die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$.

Euklidischer Ring

Eine wichtige Eigenschaft der ganzen Zahlen ist die Existenz einer Division mit Rest. Aufgrund dieser Eigenschaft gibt es für zwei ganze Zahlen stets einen gr??ten gemeinsamen Teiler, den man mit dem Euklidischen Algorithmus bestimmen kann. In der Mathematik wird $\mathbb {Z}$ als euklidischer Ring bezeichnet. Hieraus folgt auch der Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung in $\mathbb {Z}$.

Konstruktion aus den natürlichen Zahlen

Ist die Menge der natürlichen Zahlen gegeben, dann lassen sich die ganzen Zahlen daraus als Zahlbereichserweiterung konstruieren:

Auf der Menge $\mathbb {N} _{0}\times \mathbb {N} _{0}$ aller Paare natürlicher Zahlen wird folgende ?quivalenzrelation definiert:

$(a,b)\sim (c,d)$, falls $a+d=c+b$

Die Addition und Multiplikation auf $\mathbb {N} _{0}\times \mathbb {N} _{0}$ wird definiert durch:

${\begin{aligned}(a,b)+(c,d)&=(a+c,b+d)\\(a,b)\cdot (c,d)&=(ac+bd,ad+bc)\end{aligned}}$

$\mathbb {Z} =\mathbb {N} _{0}\times \mathbb {N} _{0}\,/\!\sim$ ist nun die Menge aller ?quivalenzklassen.

Die Addition und Multiplikation der Paare induzieren nun wohldefinierte Verknüpfungen auf $\mathbb {Z}$, mit denen $\mathbb {Z}$ zu einem Ring wird.

Die übliche Ordnung der ganzen Zahlen ist definiert als

$(a,b)<(c,d)$ falls $a+d<c+b$.

Jede ?quivalenzklasse $(a,b)$ hat im Fall $a\geq b$ einen eindeutigen Repr?sentanten der Form $(n,0)$, wobei $n=a-b$, und im Fall $a<b$ einen eindeutigen Repr?sentanten der Form $(0,n)$, wobei $n=b-a$.

Die natürlichen Zahlen lassen sich in den Ring der ganzen Zahlen einbetten, indem die natürliche Zahl $n$ auf die durch $(n,0)$ repr?sentierte ?quivalenzklasse abgebildet wird. üblicherweise werden die natürlichen Zahlen mit ihren Bildern $(n,0)$ identifiziert und die durch $(0,n)$ repr?sentierte ?quivalenzklasse wird mit $-n$ bezeichnet.

Ist $n$ eine von $0$ verschiedene natürliche Zahl, so wird die durch $(n,0)$ repr?sentierte ?quivalenzklasse als positive ganze Zahl und die durch $(0,n)$ repr?sentierte ?quivalenzklasse als negative ganze Zahl bezeichnet.

Diese Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen funktioniert auch dann, wenn statt $\mathbb {N} _{0}$ die Menge $\mathbb {N}$, also ohne $0$, als Ausgangsmenge genommen wird. Dann ist die natürliche Zahl $n$ in der ?quivalenzklasse von $(n+1,\ 1)$ und die $0$ in der von $(1,\ 1)$.

Verwandte Themen

• Eine ?hnliche Konstruktion wie die Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen ist allgemein für kommutative Halbgruppen m?glich. In diesem Sinn ist $\mathbb {Z}$ die Grothendieck-Gruppe von $\mathbb {N}$.
• Die gau?schen Zahlen und die Eisenstein-Zahlen sind zwei verschiedene Erweiterungen der ganzen Zahlen zu Mengen komplexer Zahlen.
• Die proendliche Vervollst?ndigung der Gruppe $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen wird gebildet als (projektiver oder) inverser Limes aller endlichen Faktorgruppen von $\mathbb {Z}$ und stellt die Gesamtheit der proendlichen ganzen Zahlen dar. Sie ist unter dem Symbol ${\widehat {\mathbb {Z} }}$ bekannt.

Weblinks

Wikibooks: ${\color {BlueViolet}{\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}}$ Mathematik für die Schule – Zahlenmengen

Wiktionary: ganze Zahl – Bedeutungserkl?rungen, Wortherkunft, Synonyme, übersetzungen